Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

         ax² + bx + c = 0 , a ≠ 0     a , b dan c adalah bilangan real.

1.   Menyelesaikan Persamaan kuadrat

     Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

     a)  memfaktorkan,

     b)  melengkapkan kuadrat sempurna,

     c)  menggunakan rumus.

     a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

      ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

      Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

      Contoh 1 :

      Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

      Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0

                  (x – 3) (x – 1) = 0

                  x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

                        x = 3   atau    x = 1

     Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

     Contoh 2 :

     Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

     Jawab:         (x – 2)² = x – 2

                  x² – 4 x + 4 =  x – 2

                  x² – 5 x + 6 = 0

               (x – 3) (x – 2) = 0

               x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

                     x = 3   atau          x = 2

     Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

    
     Contoh 3 :

     Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

     Jawab:    
                  2 x² + 7 x + 6 = 0

         2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

     2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

     (x + 2) (2 x + 3) = 0

     x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

     x = –2   atau           x = – 1

    Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

   
    b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

        Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

        Contoh 1:

        Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

        Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0

        x² – 6 x + 9 – 4 = 0

              x² – 6 x + 9 = 4

                     (x – 3)² = 4

         x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

         x = 5    atau     x = 1

         Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

         Contoh 2:

         Tentukan penyelesaian dari 2 x² – 8 x + 7 = 0.

         Jawab:   2 x² – 8 x + 7 = 0

         2 x² – 8 x + 8 – 1 = 0

         2 x² – 8 x + 8 = 1

         2 (x² – 4 x + 4) = 1

         2 (x – 2)² = 1

         (x – 2)² = ½
       




       
      

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x² + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.